مقایسه قیمت‌گذاری اختیار معامله با تلاطم تصادفی در مدل هستون و هستون ناندی

نوع مقاله : مقاله علمی پژوهشی

نویسندگان

1 استادیار، گروه ریاضی مالی، دانشکده ریاضی، دانشگاه آیت الله بروجردی، بروجرد، ایران.

2 کارشناس ارشد، گروه ریاضی مالی، دانشکده ریاضی، دانشگاه آیت الله بروجردی، بروجرد، ایران.

10.22059/frj.2023.357704.1007451

چکیده

هدف: بازار سرمایه در رشد و پیشرفت اقتصادی هر کشور نقش مهمی ایفا می‌کند؛ از این رو بررسی دقیق این بازار، از جنبه‌های مختلف ضروری به نظر می‌رسد. حضور در این بازار همیشه با ریسک زیادی همراه است و برای کاهش ریسک، ابزارهای مختلفی ارائه شده است. یکی از ارکان اصلی مؤثر بر تصمیم‌های سرمایه‌گذاری، ارزش‌گذاری دقیق مشتقات، از جمله اختیار معامله است. مدل بلک شولز برای قیمت‌گذاری طیف وسیعی از قراردادهای اختیار معامله استفاده می‌شود. فرض اساسی در این مدل، ثابت در نظر گرفتن تلاطم است که همین موضوع، دقت در محاسبه قیمت اختیار را کاهش می‌دهد. هدف اصلی این پژوهش تعیین قیمت اختیار خرید اروپایی با تلاطم تصادفی و افزایش دقت پیش‌بینی قیمت اختیار خرید است؛ از این رو به مقایسه قیمت‌گذاری اختیار معامله با تلاطم تصادفی در مدل هستون و هستون ناندی تحت گارچ پرداخته می‌شود.
روش: این پژوهش از نظر ماهیت، تحلیلی ـ کاربردی است. مدل هستون ناندی یک فرمول قیمت‌گذاری بسته برای اختیار‌های اروپایی است که بسیاری از مفروضات آن شبیه مدل هستون است. تفاوت اصلی بین مدل هستون ناندی و مدل بلک شولز، در استفاده از نوع نوسان هنگام قیمت‌گذاری اختیار است که در مدل هستون ناندی توزیع غیرنرمال بازده و نوسان‌های تصادفی را واقعی‌تر در نظر می‌گیرد. از آنجایی که در بین مدل‌های تلاطم تصادفی، مدل هستون یکی از مدل‌های کاراست، در این پژوهش به قیمت‌گذاری اختیار معامله، تحت تلاطم تصادفی هستون و هستون ناندی پرداخته می‌شود که با در نظر گرفتن غیرنرمال بودن توزیع داده‌ها بررسی شده‌اند.
یافته‌ها: داده‌های مورد استفاده در این پژوهش، اطلاعات قیمت سهم ایران‌خودرو در بازه 1/9/ 1399 تا 23/9/ 1401 است. تجزیه‌وتحلیل داده‌ها با استفاده از نرم‌افزار  آر انجام شده است. پس از قیمت‌گذاری اختیار معامله توسط هر سه مدل بلک شولز، هستون و هستون ناندی و مقایسه نتایج به‌دست‌آمده، مشخص شد که برای ارزش‌گذاری اختیار معامله، مدل هستون ناندی در مقایسه با دو مدل بلک شولز و هستون، در همه حالات کوتاه‌مدت، میان‌مدت و بلندمدت عملکرد بهتری دارد. به‌منظور افزایش دقت در محاسبه قیمت اختیار خرید ایران‌خودرو در مدل بلک شولز، هستون و هستون ناندی، از دو نوسان تاریخی و نوسان ضمنی استفاده شده است.
نتیجه‌گیری: مدل بلک شولز برای قیمت‌گذاری طیف وسیعی از قراردادهای اختیار معامله مرسوم است. در این مدل، ثابت بودن نوسان بازده‌ها یک فرض اساسی است. در این پژوهش عملکرد مدل‌های بلک شولز، هستون و هستون ناندی در قیمت‌گذاری اختیار خرید با رویکردهای مختلف نوسان مقایسه شد. نتایج این پژوهش نشان می‌دهد که در کوتاه‌مدت، میان‌مدت و بلندمدت، مدل هستون ناندی قیمت‌های نزدیک‌تری به قیمت بازار نشان می‌دهد و خطای کمتری دارد. در مجموع می‌توان نتیجه گرفت که مدل هستون ناندی نسبت به مدل‌های بلک شولز و هستون با چولگی و کشیدگی غیرنرمال انعطاف‌پذیری بیشتری دارد و می‌توان به‌عنوان جایگزین از این مدل استفاده کرد.

کلیدواژه‌ها

موضوعات

عنوان مقاله [English]

Comparison of Option Pricing with Stochastic Volatility in Heston and Heston Nandi Model

نویسندگان [English]

  • Mohammad Reza Haddadi 1
  • Hossein Nasrollahi 2
1 Assistant Prof., Department of Financial Mathematics, Faculty of Mathematics, Ayatollah Boroujerdi University, Boroujerd, Iran.
2 MSc., Department of Financial Mathematics, Faculty of Mathematics, Ayatollah Boroujerdi University, Boroujerd, Iran.
چکیده [English]

Objective
The significance of the capital market in driving the economic growth and development of a country necessitates a thorough examination of this market from multiple perspectives. Participating in this market invariably involves a heightened level of risk, prompting the emergence of various tools aimed at mitigating these risks. One of the main factors affecting investment decisions is the accurate valuation of derivatives, including options. The Black-Scholes model is used to price a wide range of options contracts. The basic assumption in this fixed model is to consider volatility, which reduces the accuracy of calculating the option price. The main purpose of this research is to determine the price of a European call option with stochastic volatility.
 
Methods
The Heston-Nandi model is a closed pricing formula for European options that shares numerous assumptions with the Heston model. The main difference between the Heston-Nandy model and the Black-Scholes model is the use of the variance type when option pricing. The Heston-Nandy model considers the non-normal distribution of returns and random fluctuations more realistically. Since the Heston model is one of the effective models among the random turbulence models, in this study, the option pricing under Heston and Heston Nandi random stochastic is discussed, which has been investigated considering the non-normality of the data distribution.
 
Results
In this study, data from Iran Khodro was utilized, spanning the period from November 21, 2020, to December 14, 2022. To increase the accuracy, the volatility was calculated using two historical and implied methods. Following the application of option pricing using all three models, namely Black-Scholes, Heston, and Heston-Nandi, and subsequent comparison of the results, it was determined that the Heston-Nandi model exhibited superior performance when compared to the other two models.
 
Conclusion
The findings of this research indicate that, in both the short, medium, and long terms, the Heston-Nandi model yields prices that closely align with market prices and exhibits lower error rates. Consequently, it can be inferred that the Heston-Nandi model demonstrates a high degree of flexibility. The Heston-Nandi model outperforms the Black-Scholes and Heston models by capturing unusual patterns like skewness and elongation. This makes it a good alternative to those models.

کلیدواژه‌ها [English]

  • Black-Scholes model
  • Heston model
  • Heston Nandi model
  • Options
  • Stochastic volatility

مراجع

امیری، مهدیه (1399). قیمت‌گذاری قراردادهای اختیار معامله با روش‏های بلک شولز، بونس و دو جمله‏ای (مطالعه موردی: قراردادهای اختیار معامله سکه طلا در بورس کالای ایران). فصلنامه بورس اوراق بهادار، 13(50)، 141 -170.
اسلامی بیدگلی، غلامرضا و سرافراز اردکانی، حسین (1375). تئوری قیمت‌گذاری اختیار معامله. تحقیقات مالی، 3(11) 176-148.
جنابی، امید و دهمرده قلعه نو، نظر (1398). قیمت‌گذاری اوراق تبعی با استفاده از مدل هستون کسری ـ پرشی. تحقیقات مالی، 21(3) 392-416.
دسترنج، الهام؛ صاحبی فرد، حسین؛ عبدالباقی، عبدالمجید؛ لطیفی، رقیه (1399). مقایسۀ قیمت‌گذاری اختیار معامله سقف و توانی در جلوگیری از فضای آربیتراژی: شواهدی از شرایط مبتنی‌بر نوسانات تصادفی، دو پرش و اندازه شدت تصادفی، نشریه مدیریت دارایی و تأمین مالی، 8(2) 89-103.
رحمانی، مرتضی؛ جعفریان، ناهید (1396). بررسی مدل بلک شولز کسری با توان هرست روی اختیار معامله اروپایی با هزینه‏های معاملاتی. مهندسی مالی و مدیریت اوراق بهادار، 8 (32)، 43-62.
شاهمرادی، اصغر؛ زنگنه، محمد (1386). محاسبه ارزش در معرض خطر برای شاخص‎های عمده بورس اوراق بهادار تهران با استفاده از روش پارامتریک، مجله تحقیقات اقتصادی، (2)42.
فتحی، سعید و فاضلیان، زینب (1401). فراتحلیلی بر کارایی بازار قراردادهای اختیار و استراتژی‌های آربیتراژ. تحقیقات مالی، 24(3)، 329- 352.  
لطیفی، رقیه (1395). ارزش‌گذاری اختیار معامله توان تحت مدل تلاطم تصادفی هستون، پایان‌نامه کارشناسی ارشد، به راهنمایی الهام دسترنج دانشکده‌ علوم ریاضی، دانشگاه صنعتی شاهرود، شاهرود، ایران.
مهردوست، فرشید؛ صابر، نغمه (1392). قیمت‌گذاری اختیار معامله تحت مدل هستون مضاعف با پرش. مدل‌سازی پیشرفته ریاضی، 2(3)، 45-60.
نبوی چاشمی، سیدعلی؛ عبدالهی، فرهاد (1397). بررسی و مقایسه الگوهای سود اختیارمعاملات آسیایی، اروپایی و آمریکایی سهام در بورس اوراق بهادار تهران. مهندسی مالی و مدیریت اوراق بهادار، 9(34)، 380- 935.
نیسی، عبدالساده؛ ملکی، بهروز و رضائیان، روزبه (1395). تخمین پارامترهای مدل قیمت‌گذاری اختیار معامله اروپایی تحت دارایی‌پایه با تلاطم تصادفی با کمک رهیافت تابع زیان. مهندسی مالی و مدیریت اوراق بهادار، 7(28) 91-115.
نیسی، عبدالساده؛ پیمانی، مسلم (1393). مدل‌سازی شاخص کل بورس اوراق بهادار تهران با استفاده از معادله دیفرانسیل تصادفی هستون. پژوهشنامه اقتصادی، 14(2) 143- 166.
 
References
Alòs, E. & Yang, Y. (2014). A closed-form option pricing approximation formula for a fractional Heston model. Economics Working Papers 1446, Department of Economics and Business, Universitat Pompeu Fabra.
Amiri, M. (2020). Option Pricing Under Black– Scholes, Boness and Binomial Tree Models-Evidence from the Gold Coin Option Contracts in Iran Mercantile Exchange. Journal of Securities Exchange, 13(50), 141-170. (in Persian)
Backus, D., Foresi, S., Li, K. & Wu, L. (1997). Accounting for biases in Black–Scholes. Working paper, New York University.
Baillie, R. T. & Morana, C. (2009). Modelling long memory and structural breaks in conditional variances: An adaptive FIGARCH approach. Journal of Economic Dynamics and Control, 33(8), 1577-1592.
Black, F. & Scholes, M. (1973). The Pricing of Options and Corporate Liabilities. The Journal of Political Economy, 81 (3), 637-654.
Chan, J.R., Hung, M.W., Lee, C.F. & Lu, H.M. (2007). The jump behavior of foreign exchange market: analysis of Thai Baht. Review of Pacific Basin Financial Markets and Policies, 10(2), 265–288.
Clark, T. E., and Davig, T. (2011). Decomposing the declining volatility of long-term inflation expectations. Journal of Economic Dynamics and Control, 35(7), 981-999.
Cox, J.C., Ingersoll, J.E. & Ross, S.A. (1985). A theory of the term structure of interest rates. Econometrica, 53, 385–407.
Dastranj, E., Sahebi Fard, H., Abdolbaghi, A. & Latifi, R. (2020). A Comparison between the Pricing of Capped and Power Options on the Basis of Arbitrage Prevention: Evidence from a Stochastic Market with Double Stochastic Volatility, Double Jump, and a Stochastic Intensity Measure. Journal of Asset Management and Financing, 8(2), 89-103. (in Persian)
Eslami Bidgoli, Gh. & Sarafraz Ardakani, H. (1996). Option Pricing Models. Financial Research Journal, 3(11), 148-176. (in Persian)
Fathi, S. & Fazelian, Z. (2022). A Meta-Analysis of the Efficiency of Options Market and the Arbitrage Strategies. Financial Research Journal, 24(3), 329-352. (in Persian)
Florescu, I., Mariani, M.C. & Sewell, G. (2014). Numerical solutions to an integro-differential parabolic problem arising in the pricing of financial options in a Levy market. Quantitative Finance, 14(8), 1445-1452.
Harris, D. (2018). Pricing European Style Options. University of Providence, https://dx.doi.org/10.2139/ssrn.2653255
Heston, S. & Nandi, S. (2000). A Closed-Form GARCH Option Valuation Model. The Review of Financial Studies, 13, 585-625.
Heston, S. L. (1993). A closed-form solution for options with stochastic volatility with applications to bonds and currency options, The Review of Financial Studies, 6(2), 327-343
Hull, J. C. & White, A. (1987). The pricing of options on assets with stochastic Volatilities. Journal of Finance, 42, 281-300.
İltüzer, Z. (2022). Option pricing with neural networks vs. Black-Scholes under different volatility forecasting approaches for BIST 30 index options. Borsa Istanbul Review, 22(4), 725-742.
Jenabi, O. & Dahmardeh Ghaleno, N. (2019). Subordinate Shares Pricing under Fractional-Jump Heston Model. Financial Research Journal, 21(3), 392-416(in Persian).
Kiesel, R. & Rahe, F. (2017). Option pricing under time-varying risk- aversion with applications to risk forecasting, Journal of Banking and Finance, 76, 120-138.
Latifi, R. (2016). Option pricing under Haston's stochastic volatility model, master's thesis, under the guidance of Elham Dastranj, Faculty of Mathematical Sciences, Shahrood University of Technology, Shahrood, Iran. (in Persian)
Mehrdoust, F., Saber, N. (2014). The option pricing under double Heston model with jumps. Journal of Advanced Mathematical Modeling, 3(2), 45-60. (in Persian)
Melino, A., Turnbull, S. (1990). Pricing foreign currency options with stochastic volatility. Journal of Econometrics, 45, 239–265.
Nabavi Chashami, S. A. & Abdollahi, F. (2018). Review and Compare the earnings patterns of Asian, European and American Stock Option in Tehran Stock Exchange. Financial Engineering and Portfolio Management, 9(34), 359-380. (in Persian)
Neisy, A. & Peymany, M. (2014). Modeling of Tehran Stock Exchange Overall Index by Heston Stochastic Differential Equation. Economics Research, 14(53), 143-166.
(in Persian)
Neisy, A., Maleki, B. & Rezaeian, R. (2016). The Parameters Estimation of European Option pricing model under Underlying Asset with Stochastic Volatility by Loss Function Method. Financial Engineering and Portfolio Management, 7(28), 91-115. (in Persian)
Pan, Z., Wang, Y., Liu, L. & Wang, Q. (2019). Improving volatility prediction and option valuation using VIX information: A volatility spillover GARCH model. Journal of Futures Markets, 39(6), 744-776.
Papantonis, I. (2016). Volatility risk premium implications of GARCH option pricing models. Economic modelling, (58), 104-115.
Rahmani, M. & Jafarian, N. (2017). Survey on fractional Black-scholes with Hurst exponent on European option with transaction cost. Financial Engineering and Portfolio Management, 8(32), 43-62. (in Persian)
Schoutnes, W. (2003). Levy Processes in Finance: Pricing Financial Derivatives. John Wiley & Sons Ltd.
Scott, L. (1987). Option pricing when the variance changes randomly: Theory, estimation and An Application. Journal of Financial and Quantitative Analysis, 22, 419–438.
Shahmoradi, A. & Zanganeh, M. (2007). Calculation of value at risk for major indices of Tehran Stock Exchange using parametric method. Journal of Economic Research, 42(2), 1-29. (in Persian)
Stein, E.M. & Stein, J.C. (1991). Stock price distribution with stochastic volatility: An analytic approach. Review of Financial Studies, 4, 727–752.
Thao, H.T.P. & Thao, T.H. (2012). Estimating Fractional Stochastic Volatility. The International Journal of Contemporary Mathematical Sciences, 82(38), 1861-1869.
Tsay, R. S. (2010). Analysis of Financial Time Series 3rd Edition, John Wiley & Sons Ltd.
Venter, J., Maré, P. (2022). Pricing collateralised options in the presence of counterparty credit risk: An extension of the Heston–Nandi model, South African Statistical Journal, 56(1), 37–51.
Wiggins, J. B. (1987). Option values under stochastic volatility: Theory and empirical estimates. Journal of Financial Economics, 19(2), 351-372.
Zhang, W. & Zhang, J. E. (2020). GARCH option pricing models and the variance risk premium. Journal of Risk and Financial Management, 13(3), 51.
تحقیقات مالی
دوره 25، شماره 4
1402
صفحه 577-595

فایل ها

هم رسانی

ارجاع به این مقاله

آمار