Portfolio Optimization in terms of Justifiability Short Selling and Some Market Practical Constraints

بهینه‎سازی پرتفوی سهام در شرایط مجاز بودن فروش استقراضی و برخی محدودیت‎های کاربردی بازار سرمایه

حمیدرضا قاسمی¹، امیرعباس نجفی ²

چکیده: ممنوعیت فروش استقراضی (نامنفی بودن اوزان دارایی) یکی از فرض‎های اولیه‎ی مدل مارکویتز است که تنها وضعیت خرید را برای دارایی­ها ممکن می‎کند. حل مدل کوآدراتیک مارکویتز  با در نظر گرفتن تنها دو محدودیت بازده و بودجه، مرز کارای نامقید سرمایه­گذاری را به‎دنبال دارد. در سال­های گذشته، معرفی سایر محدودیت­های کاربردی منجر به توسعه‎ی مدل اولیه‎ی مارکویتز شده‎اند. در پژوهش پیش رو، مدلی نوین برای بهینه­سازی پرتفو ارائه شده است که افزون‎بر مجاز شمردن فروش استقراضی، برخی محدودیت­های کاربردی بازار نیز به مدل تحمیل شده است. با استفاده از اطلاعات قیمت 15 سهم، مدل غیرخطی پیشنهادی با به‎کارگیری ابزارهای استاندارد حل شده و مرز کارای مقید ترسیم شده است.

واژه‌های کلیدی: بهینه­سازی پرتفوی، مدل میانگین ـ واریانس، فروش استقراضی، مرز کارا، برنامه­ریزی کوآدراتیک.

طبقه‎بندی JEL : G11-C61.

تاریخ دریافت مقاله: 15/09/1390

تاریخ پذیرش نهایی مقاله: 01/03/1391

نویسنده مسئول مقاله: امیرعباس نجفی

E-mail:aanajafi@kntu.ac.ir

مقدمه

هدف از حل مسائل انتخاب سبد سرمایه­گذاری (پرتفوی) آن است که از بین یک مجموعه دارایی‌های در دسترس، پرتفویی انتخاب شود که افزون‎بر کمینه‎سازی ریسک پرتفوی، یک سطح حداقلی از بازده پرتفوی را نیز برای سرمایه­گذار برآورده کند. رویکرد حل این‎گونه مسائل آن است که ماکزیمم­سازی بازده را تنها پارامتر در نظر نگرفته، بلکه تنوع‌بخشی[1] پرتفوی را نیز به‎منزله‎ی معیار دیگر سرمایه­گذاری مطرح می‎کند (Hicks, 1935). مدل پایه­ای مسئله‎ی انتخاب پرتفوی را نخستین‎بار مارکویتز مطرح کرد که یک مدل درجه دوم^[2] بوده و می­تواند به‎صورت تحلیلی توسط ابزارهای استاندارد حل شود. در این مدل پایه، تنها محدودیت­های بازده و بودجه در نظر گرفته شده است (Markowitz, 1952). حال چنانچه این مدل به‎ازای مجموعه‌ای از مقادیر مختلف سطح حداقلی بازده پرتفوی، به‎طور مکرر حل شود و در ادامه، نمودار بازده ـ ریسک پرتفوی به‎ازای جواب­های مختلف ترسیم شود، به مجموعه نقاطی با عنوان مرز کارا^[3] دست می­یابیم. با استخراج مرز کارا (به‎منزله‎ی مجموعه جواب بهینه)، سرمایه­گذار این امکان را خواهد داشت تا بر اساس نیازمندی ریسک / بازده مورد نظر خود، پرتفوی بهینه را از این مجموعه انتخاب کند که این انتخاب به ریسک‌گریزی^[4] و ریسک‌پذیری سرمایه‌گذار بستگی دارد. در ادامه مدل پایه­ای مارکویتز و برخی توسعه­های صورت گرفته آن، آورده شده است.

بیان مسئله

یکی از مباحث نوین بازارهای سرمایه، آن است که سرمایه­گذار دارایی که در اختیارش نیست را در بازار فروخته و درآمد حاصل از آن را در سایر دارایی­ها سرمایه‌گذاری می‎کند. به‎گفته‎ی دیگر، دارایی را به امید کاهش قیمت، قرض کرده و در زمان افت قیمت به قرض­دهنده‎ی دارایی بازمی­گرداند و از این راه سود می‎کند. این رویکرد با نام فروش استقراضی مطرح است که در ادامه به‎طور گسترده‎تری مورد بحث واقع خواهد شد.

در نوشتار حاضر، مدلی در حوزه‎ی مسائل انتخاب پرتفوی مطرح می‎شود که مجاز بودن فروش استقراضی و اِعمال برخی محدودیت­های کاربردی بازار سرمایه را همراه با هم در نظر می‌گیرد. برتری این مدل آن است که برای پوشش ریسک ناشی از افت قیمت دارایی در آینده، درصدی از بازده بدون ریسک در اختیار قرض­دهنده‎ی دارایی قرار می‌گیرد که این امر درنهایت موجب انگیزش و ترغیب سرمایه‌گذاران به خرید و فروش در بازار خواهد شد. مدل ارائه شده با استفاده از داده­های 15 سهم واقعی حل شده و مرز کارای سرمایه­گذاری ترسیم و در انتها نتایج آورده شده است.

پیشینه‎ی پژوهش

پیشینه‎ی نظری (مدل­ پایه­ای مارکویتز)

با در نظر گرفتن فروض نرمال بودن توزیع بازده دارایی­ها، بازار کامل بدون مالیات (بدون هزینه‌های معاملاتی)، ممنوعیت فروش استقراضی (نامنفی بودن اوزان دارایی) و تقسیم­پذیر بودن دارایی­ها، مدل پایه‎ی مارکویتز به‎شکل رابطه‎ی شماره‎ی 1 بیان می­شود:

که در آن؛

   : تعداد دارایی­ها؛ : نسبت (وزن) سرمایه‌گذاری شده در دارایی ام؛  : بازده انتظاری دارایی ام؛  : کوواریانس بین بازده دارایی  و  است.

در این مدل تابع هدف، واریانس پرتفوی  بوده که از رابطه‎ی  به‎دست می­آید. همچنین بازده انتظاری پرتفوی از رابطه‎ی  حاصل می‎شود.  نیز بیانگر حداقل بازده انتظاری سرمایه‌گذار از پرتفوی مورد نظر است. محدودیت رابطه‎ی شماره‎ی 3، اطمینان می‎دهد که مجموع اوزان دارایی بیشتر از یک نمی‌شود. با حل مکرر مسئله‎ی فوق، به‎ازای مجموعه­ای از مقادیر مختلف ، مرز کارای سرمایه­گذاری به‎شکل نمودار شماره‎ی 1 ترسیم می‌شود. با استفاده از این مرز کارا، سرمایه‌گذار می‌تواند بر اساس نیازمندی­های ریسک/ بازده مورد نظر خود، پرتفوی بهینه را انتخاب کند.

نمودار 1. مرز کارای سرمایه­گذاری

ضعف اصلی مدل پایه‎ی مارکویتز این بود که بسیاری از جنبه­های معاملاتی دنیای واقعی، همچون بیشینه‎ی (ماکزیمم) اندازه‎ی پرتفوی، کمینه‎ی (مینیمم) سهام و... را در مدل‌سازی مربوطه شرکت نمی­داد. سایر محققان، این جنبه­ها را با معرفی محدودیت­هایی (از نوعی که کاربردی نامیده می‌شوند)، به مدل تحمیل کرده و موجب گسترش آن شدند. برخی از این محدودیت‌های کاربردی در ادامه آورده شده است.

پیشینه‎ی تجربی

محدودیت تعداد سهام پرتفوی

تعداد دارایی­های موجود در پرتفوی اغلب، یا با یک مقدار داده شده تعیین می‎شوند یا محدود شده هستند. از طریق معرفی یک متغیر دودویی   (که اگر دارایی iدر پرتفوی موجود باشد، مساوی 1 و در غیر این صورت صفر است)، این محدودیت می‌تواند به‎شکل رابطه‎ی شماره‎ی 5 بیان شود.

این محدودیت به این منظور تحمیل می­شود که مدیریت پرتفوی تسهیل‎شده و هزینه­های مدیریتی پرتفوی کاهش یابد. شکل نامساوی فوق کاملاً رایج است (Schaerf, 2002; Kellerer & Maringer, 2003; Maringer, 2005)، همچنین یک حد پایین نیز می­تواند به‎شکل رابطه‎ی شماره‎ی 6 معرفی شود (Di Gaspero et al., 2007; Chiam et al., 2008):

اگرچه این محدودیت می­تواند به شکل تساوی نیز بیان شود (Soleimani et al., 2009; Armãnanzas & Lozano, 2005)؛ یعنی:

محدودیت تعداد سهام پرتفوی گاهی نیز به‎عنوان تابع هدف در نظر گرفته شده است (Anagnostopoulos & Mamanis, 2010).

محدودیت­های سقف و کف

با اِعمال این محدودیت­ها، یک کمینه و بیشینه نسبت (به‎ترتیب  و ) برای هر دارایی، مجاز است که در پرتفوی نگهداری شود، به‎طوری که . به بیان دیگر، سهم پرتفوی برای یک دارایی خاص، در یک بازه­ی داده شده تغییر می­کند (Chiam et al., 2008):

محدودیت­های سقف (محدودیت­های حد بالا)، برای جلوگیری از تجاوز بیش از اندازه‎ی نسبت دارایی خاص معرفی می­شوند و در برخی موارد توسط قوانین و مقررات به مدل تحمیل می‎شوند. محدودیت­های کف (حد پایین) برای جلوگیری از هزینه‎ی مدیریت نسبت­های بسیار کم دارایی­ها به‎کار گرفته می­شوند و ممکن است توسط هزینه­های معاملاتی ایجاب شوند.

پس چنانچه فروش استقراضی ممنوع شود، محدودیت رابطه‎ی شماره‎ی 4 در مدل پایه‌ای مارکویتز ( ) به هنگام تحمیل محدودیت‌های کف، زائد می­شود.

فروش استقراضی

فرض کنید در زمان  یک سرمایه‌گذار پیش‌بینی می­کند که قیمت دارایی  در زمان آتی افزایش خواهد یافت. برای دست‎یابی به سود، می‌بایست دارایی  را به قیمت بازاری  خریداری کرده و چنانچه  بود، در زمان  آن را فروخته و به اندازه‎ی اختلاف  سود کسب کند. به‎طور معکوس اگر در زمان  سرمایه­گذار پیش‌بینی کند که قیمت دارایی در زمان آتی افت خواهد داشت، او این اختیار را خواهد داشت که اکنون دارایی  را از کارگزار قرض کرده و به بازار بفروشد و در زمان  آن را خریداری کرده و به همان کارگزار بازگرداند. در این مورد او به‎اندازه‎ی  (منهای حق دلالی) سود کسب می­کند. این راهبرد، فروش استقراضی نامیده ­می­شود.

مدل پایه­ای مارکویتز، نامنفی بودن اوزان (ممنوعیت فروش استقراضی) را به مدل تحمیل می‎کند. فروش استقراضی را می‌توان با جایگزینی رابطه‎ی شماره‎ی 8 به جای رابطه‎ی شماره‎ی 4 در مدل پایه، مجاز کرد:

این مدل به مدل بلک اشاره دارد (Black, 1972) و برای مدل­سازی فروش استقراضی مورد استفاده قرار می‌گیرد. از مطالعات انجام گرفته در زمینه‎ی فروش استقراضی، می­توان به یو و همکاران (2008)؛ رولاند (1997) و کراما و سکینز (2003) اشاره کرد.

چنانچه قرض­گیرنده‎ی دارایی یک سرمایه­گذار کوچک باشد، بهره­ای از درآمدهای فروش استقراضی به‎دست نمی­آورد، در غیر این صورت، به‎طور معمول تنها بخشی از بهره ( ) را به‎دست می‌آورد. برای به‎شمار آوردن تمامی این پدیده­ها، ابتدا بازده یک پرتفوی، شامل دارایی‌هایی می­شود که می‌بایست فروش استقراضی نیز در آن تعریف شود:

به‎طوری که ، برابر صفر است، اگر سرمایه‌گذار در موقعیت خرید دارایی باشد و مثبت است اگر دارایی فروش استقراضی شود (Jacobs et al., 2005 & 2006).

مدل پیشنهادی

در این بخش، مدل ارائه‎شده به‎تفکیک اجزا مورد بررسی قرار می­گیرد.

مفروضات مدل

 : تعداد دارایی­های در دسترس؛

 : بازده انتظاری دارایی  ام ( )؛

 : کوواریانس بین دارایی‌های  و ؛

  : حداقل بازده مورد انتظار سرمایه­گذار از پرتفوی مورد نظر؛

 : بازده بدون ریسک؛

:  بیشینه‎ی تعداد سهام موجود در پرتفوی؛

 : وزن دارایی موجود در پرتفوی؛

 : حد پایین و بالای دارایی  ام در وضعیت خرید؛

 : حد پایین و بالای دارایی  ام در وضعیت فروش استقراضی؛

 : درصد بازگردانی به قرض‌دهنده‎ی دارایی.

شایان ذکر است، فروض مدل پایه‌ای مارکویتز، یعنی نرمال بودن توزیع بازده دارایی­ها، بازار کامل بدون مالیات (بدون هزینه‌های معاملاتی) و تقسیم­پذیر بودن دارایی­ها، همچنان به‎عنوان فرض‎های اولیه‎ی مدل پیشنهادی پابرجا بوده، با این تفاوت که فروش استقراضی در این مدل مجاز شمرده شده است. بنابراین، جامعه‎ی آماری برای آزمون مدل نیز بازار سرمایه‌ای خواهد بود که امکان فروش استقراضی در تمامی دارایی‌های آن یا حتی‌الامکان بخشی از آن بازار، وجود داشته باشد. از این رو، نمونه‎ی آماری مورد نظر می‌بایست از میان آن دسته دارایی‌هایی انتخاب شود که فروش استقراضی در آنها مانعی ندارد.

 تابع هدف مدل

تابع هدف در مدل مورد نظر، کمینه‎کردن ریسک پرتفوی (واریانس پرتفوی) در نظر گرفته شده است که به‎شکل رابطه‎ی شماره‎ی 11 بیان می‌شود:

محدودیت­های مدل

محدودیت حداقل بازده مورد انتظار[5]

با توجه به مجاز بودن فروش استقراضی در مدل، برای آنکه صاحب اصلی دارایی که دارایی را به ما قرض داده، بتواند ریسک ناشی از کاهش قیمت آتی آن را پوشش دهد، می‌بایست درصدی از بازده بدون ریسک را در اختیار او قرار دهیم تا انگیزه‎ی انجام فروش استقراضی در بازار وجود داشته باشد. با در نظر گرفتن این نکته، محدودیت حداقل بازده مورد انتظار مدل پایه‎ی مارکویتز (رابطه‎ی شماره‎ی 2) به‎شکل رابطه‎ی شماره‎ی 12 بازنویسی خواهد شد:

که در آن؛  درصدی از بازده بدون ریسک است که به قرض‎دهنده‎ی دارایی، به‎ازای هر واحد دارایی می­دهیم و در بازه‎ی [1 , 0] تغییر می­کند و می‎تواند به‎صورت قطعی یا تصادفی باشد. متغیرهای  و  متغیرهای دودویی (باینری) هستند که در ادامه تعریف شده‎اند.

محدودیت بودجه[6]

برای آنکه مجموع دارایی­ها در پرتفوی برابر کل بودجه‎ی در دسترس باشد، این محدودیت به‎شکل رابطه‎ی شماره‎ی 13 بیان می­شود:

محدودیت حداکثر فروش استقراضی[7]

چنانچه بخواهیم به‎اندازه بودجه­ی در دسترس، حداکثر فروش استقراضی در تمامی دارایی­ها داشته باشیم، محدودیت رابطه‎ی شماره‎ی 14 به مدل تحمیل می­شود:

محدودیت سقف و کف[8]

در شرایطی که هم خرید و هم فروش استقراضی داشته باشیم و در هر دو حالت، محدودیت سقف و کف در میزان دارایی مورد نظر وجود داشته باشد (برای جلوگیری از تجاوز بیش از حد نسبت دارایی و کاهش هزینه­های معاملاتی در نسبت­های کم دارایی)، در هر دو وضعیت خرید و فروش استقراضی، حدود بالا و پایین در نظر گرفته می­شود که در نمودار شماره‎ی 2 آورده شده است:

نمودار 2. نمای شماتیک وضعیت خرید و فروش استقراضی

همان‎طور که در نمودار شماره‎ی 2 مشاهده می­شود،  و  به‎ترتیب حدود پایین و بالا در وضعیت خرید  و  و ، به‎ترتیب حدود پایین و بالا در وضعیت فروش استقراضی هستند. گفتنی است چنانچه  باشد، آنگاه در مورد دارایی ام ، خرید و فروش استقراضی انجام نمی­دهیم؛ یعنی دارایی  ام در پرتفوی انتخابی سرمایه‌گذار وجود نخواهد داشت.

با توجه به موارد بیان شده، برای مدل کردن این محدودیت از دو متغیر باینری استفاده شده است که به‎شکل زیر تعریف می­شوند:

با استفاده از دو متغیر فوق، محدودیت سقف و کف را می‎توان به‎شکل رابطه‎ی شماره‎ی 15 مدل کرد:

محدودیت تعداد دارایی در پرتفوی[9]

این محدودیت برای مدیریت هرچه بهتر دارایی­های موجود در پرتفوی به مدل تحمیل می‌شود و از آنجاکه در مدل موردنظر، هدف مدیریت هر دو مورد، دارایی­های خریداری شده و فروش استقراضی شده است و همچنین با توجه به آنکه متغیر باینری  زمانی برابر 1 است که دارایی ام یا خریداری یا فروش استقراضی می‌شود، بنابراین این محدودیت می‌تواند به یکی از شکل‌هایی که در رابطه‎ی شماره‎ی 16 آمده، بیان شود:

در مدل پیشنهادی، تنها حد بالا برای تعداد دارایی‌های پرتفوی در نظر گرفته شده است ( ).

محدودیت حفظ تنوع­بخشی پرتفوی[10]

برای حفظ تنوع­بخشی پرتفوی، فرض می­شود که تمامی نسبت دارایی‌های موجود در پرتفوی، در فاصله‎ی [1 , 1-] قرار دارند، یعنی:  .

با توجه به موارد ذکر شده، مدل پیشنهادی نهایی به‎شکل رابطه‎ی شماره‎ی 18 خواهد بود:

Subject to:

یافته‌های پژوهش (مطالعه‎ی موردی)

از آنجاکه در حال حاضر امکان فروش استقراضی در بازار بورس ایران وجود ندارد، بنابراین بازار بورس نیویورک، به‎عنوان جامعه‎ی آماری برای آزمون مدل پیشنهادی مورد استفاده قرار گرفته است. با استفاده از داده­های به‎دست آمده،[11] برای 15 سهم در یک دوره‎ی زمانی 586 روزه (1/1/2009 الی 1/2/2011)، اطلاعات بازده، واریانس و کوواریانس بین سهام استخراج شده که در جدول شماره‎ی 1 ارائه شده است. گفتنی است که پارامترهای حدود بالا و پایین در وضعیت‎های خرید و فروش استقراضی، به‎دلخواه برای تمامی سهام انتخابی، یکسان در نظر گرفته شده است .

جدول 1. اطلاعات قیمت 15 سهم برگزیده از تاریخ 1/1/2009 تا 1/2/2011

نرخ بازده بدون ریسک (Rf)، سالانه 4 درصد در نظر گرفته شده است که نرخ روزانه‎ی مربوطه، به‎صورت مرکب پیوسته برابر 011/0 خواهد بود.

مدل برنامه‌ریزی عدد صحیح غیرخطی (INLP)[12] ارائه شده با استفاده از نرم­افزار برنامه­ریزی ریاضی لینگو (11)[13] برای شش مقدار مختلف پارامتر ، حل شده که نتایج در جدول شماره‎ی 2 ارائه شده است. همچنین مرز کارای سرمایه‌گذاری حاصل نیز در نمودار شماره‎ی 3 نشان داده شده است.

جدول2. ریسک (انحراف معیار) و بازده پرتفوی بهینه به‎ازای مقادیر مختلف حداقل بازده انتظاری پرتفوی و پارامتر

نمودار 3. مرز کارای سرمایه­گذاری به‎ازای مقادیر مختلف

همان‎طورکه در جدول شماره‎ی 2 مشاهده می­شود، از چپ به راست با افزایش مقدار بازده انتظاری پرتفوی ، ریسک پرتفوی (انحراف معیار پرتفوی ) نیز به‎ازای تمامی مقادیر  افزایش می‌یابد (ارتباط مستقیم). همچنین برای مقادیر پایین ، با افزایش مقدار  از بالا به پایین، مقادیر ریسک پرتفوی بدون تغییر باقی‎مانده است، در حالی‎که برای مقادیر بالاتر ، روند نزولی را طی می‎کند (ارتباط معکوس). برای مقایسه‎ی مرز کارای مدل پیشنهادی و مرز کارای مدل پایه‌ای مارکویتز، بار دیگر نمودار شماره‎ی 3 را در نظر بگیرید. همان‎طور که انتظار می‌رفت، مرز کارای مدل پیشنهادی بالاتر از مرز کارای مدل مارکویتز قرار گرفته است. علت این امر آن است که در مدل پایه‌ای مارکویتز، حداکثر مقدار بازده پرتفوی برابر با بالاترین بازده دارایی‌های در دسترس (آمازون با میانگین بازده 253/0) خواهد بود، در حالی‎که در مدل پیشنهادی با توجه به مجاز شمردن فروش استقراضی، می‌توان انتظار دست‎یابی به بازده پرتفوی بیشتر از مقدار 253/0 را نیز داشت.

نتیجه­گیری و پیشنهادها

در این مقاله یک مدل تک­هدفه (کمینه­سازی واریانس پرتفوی) پیشنهاد شده است، که تصمیم‎گیری در خصوص سه وضعیت (خرید، فروش استقراضی، نه خرید و نه فروش) هر دارایی را برای سرمایه­گذار به‎دنبال دارد. افزون‎بر محدودیت­های مدل اولیه‎ی مارکویتز (بازده و بودجه)، برخی محدودیت­های کاربردی بازار سرمایه (حداکثر میزان فروش استقراضی، حداکثر تعداد دارایی در پرتفوی، حد بالا و پایین هر دارایی، حفظ تنوع‌بخشی پرتفوی) نیز به مدل تحمیل شده است. برای ایجاد انگیزش در خصوص انجام فروش استقراضی و جلوگیری از تضرر قرض‌دهنده‎ی دارایی، پارامتر  جهت پوشش ریسک، اعمال شده است. با حل مدل، مشخص شد که ریسک و بازده پرتفوی ارتباط مستقیم داشته، در حالی‎که ریسک و مقدار  ارتباط معکوس دارند. همچنین در مدل پیشنهادی با توجه به مجاز بودن فروش استقراضی، می‎توان انتظار دست‎یابی به بازده پرتفوی بیشتر از بالاترین بازده دارایی‌های در دسترس را نیز داشت.

با به‎وجود آمدن سازوکار فروش استقراضی در بازار بورس اوراق بهادار، مدل ارائه‎شده قابلیت استفاده برای انتخاب پرتفوی بهینه برای سرمایه­گذاران داخلی را نیز خواهد داشت.

با توجه به مطالب بیان‎شده، برخی زمینه­ها برای مطالعات بعدی به شرح زیر پیشنهاد شده است:

• استفاده از سایر محدودیت­های کاربردی بازار سرمایه برای توسعه‎ی مدل؛
• استفاده از سایر مقیاس­های ریسک، همچون نیم‌واریانس (SVAR)، ارزش در معرض ریسک (VaR) و... به‎عنوان تابع هدف مدل پیشنهادی؛
• حل مدل با درنظرگیری چند هدف؛
• استفاده از تئوری فازی در مدل­سازی مدل پیشنهادی.

منابع

1. Anagnostopoulos, K.P. and Mamanis, G. (2010). A portfolio optimization model with three objectives and discrete variables. Computers & Operations Research, 37: 1285–1297.
2. Armãnanzas, R. and Lozano, J.A. (2005). A multiobjective approach to the portfolio optimization problem. In Proceedings of the 2005 IEEE Congress on Evolutionary Computation, 1388–1395.
3. Black, F. (1972). Capital market equilibrium with restricted borrowing. Journal of Business, 45 (3): 444-455.
4. Chiam, S. C., Tan, K. C., and Al Mamum, A. (2008). Evolutionary multi-objective portfolio optimization in practical context. International Journal of Automation and Computing, 5 (1): 67-80.
5. Crama, Y., and Schyns, M. (2003). Simulated annealing for complex portfolio selection problems. European Journal of Operational Research, 150: 546-571.
6. Di Gaspero, L., Di Tollo, G., Roli, A. and Schaerf, A. (2007). Hybrid local search for constrained financial portfolio selection problems. In Proceedings of Integration of AI and OR Techniques in Constraint Programming for Combinatorial Optimization Problems, 44–58.
7. Hicks, J.R. (1935). A suggestion for simplifying the theory of money. Economics, 2: 1–19.
8. Jacobs, B., Levy, K.N. and Markowitz, H. (2005). Portfolio optimization with factors, scenarios and realistic short positions. Operations Research, 53 (4): 586-599.
9. Jacobs, B., Levy, K.N. and Markowitz, H. (2006). Trimability and fast optimization of long-short portfolios. Financial Analysts Journal, 62 (2): 36-46.
10. Kellerer, H. and Maringer, D. (2003). Optimization of cardinality constrained portfolios with a hybrid local search algorithm. OR Spectrum, 25 (4): 481-495.
11. Maringer, D. (2005). Portfolio Management with Heuristic Optimization. Springer Verlag.
12. Markowitz, H. (1952). Portfolio selection. Journal of Finance, 7 (1):
    77-91.
13. Rolland, E. (1997). A tabu search method for constrained real number search: applications to portfolio selection. Technical report, Department of Accounting and Management Information Systems, Ohio State University, Columbus.U.S.A.
14. Schaerf, A. (2002). Local search techniques for constrained portfolio selection problems. Computational Economics, 20 (3): 177–190.
15. Soleimani, H., Golmakani, H. and Salimi, M.H. (2009). Markowitz-based portfolio selection with minimum transaction lots, cardinality constraints and regarding sector capitalization using genetic algorithm. Expert Systems with Applications, 36: 5058-5063.
16. Yu, L., Wang, S., and Lai, K.K. (2008). Neural network-based mean–variance–skewness model for portfolio selection. Computers & Operations Research, 35 (1): 34-46.