کاربرد روش تخمین مجموعه‎ی غیر مرجح در انتخاب پرتفوی بهینه (مطالعه‎ی موردی: بورس اوراق بهادار تهران)

کاربرد روش تخمین مجموعه‎ی غیر مرجح در انتخاب پرتفوی بهینه

(مطالعه‎ی موردی: بورس اوراق بهادار تهران)

عادل آذر¹، نجمه راموز²، علیرضا عاطفت دوست³

چکیده: در اکثر مسائل تصمیم‎گیری چندمعیاره، داشتن اطلاعاتی در مورد اهمیت نسبی هر یک از معیارها ضروری است. در این گروه از مسائل، وزن‎ها اهمیت نسبی و ارجحیت هر شاخص (معیار) را نسبت به معیارهای دیگر تصمیم‎گیری می‎سنجند. در این مطالعه برای ترسیم مرز کارای میانگین ـ واریانس، از روش تخمین مجموعه‎ی غیر مرجح استفاده می‎شود. روش تخمین مجموعه‎ی غیر مرجح، روشی برای ایجاد مجموعه نقاط غیر مرجح است که در آن، اطلاعات ترجیحی در مورد ارزش نسبی اهداف (وزن‎ها) به‎کار نمی‎رود. این نکته جزء مزیت اصلی این روش است که در این نوشتار با استفاده از این روش، تلاش در انتخاب پرتفوی بهینه برای سرمایه‎گذار شده است.

واژه‌های کلیدی: مرز کارای میانگین ـ واریانس، پرتفوی بهینه، روش تخمین مجموعه‎ی غیرمرجح.

تاریخ دریافت مقاله: 11/03/1390

تاریخ پذیرش نهایی مقاله: 03/11/1390

نویسنده مسئول مقاله: علی رضا عاطفت دوست

E-mail:atefat@Modares.ac.ir

مقدمه

توسعه‎ی سرمایه‎گذاری، از یک سو موجب جذب سرمایه‎های غیر کارا و هدایت آنها به بخش‎های مولد اقتصادی می‎شود و از سوی دیگر با توجه به جهت‎گیری سرمایه‎گذاران (مبتنی بر ریسک و بازده)، سرمایه‎گذاری‎ها در صنایعی هدایت خواهند شد که از سود بیشتر یا ریسک کمتری برخوردارند و این امر موجب تخصیص بهینه‎ی منابع خواهد شد. تخصیص بهینه‎ی منابع نیز از مهم‎ترین کارکردهای اقتصادی بازارهای سرمایه است. بورس اوراق بهادار، به‎عنوان یکی از شاخص‎های مهم توسعه‎ی اقتصادی کشورها، اهمیت قابل توجهی در امر توسعه‎ی سرمایه‎گذاری‎ها و تخصیص بهینه‎ی آنها ایفا می‎کند. از طرفی، موانع فرهنگی ـ اقتصادی، قوانین و مقررات دولتی و عدم اطمینان حاکم بر بازار بورس، مانع از رُشد سرمایه‎گذاری‎ها در بورس اوراق بهادار می‎شوند. در سال‎های اخیر وضع آشفته‎ی بورس اوراق بهادار تهران سبب شده است، مطالعات فراوانی برای غلبه بر مشکلات موجود انجام گیرد، با این حال، مطالعات انجام‎گرفته راهگشای خوبی برای سرمایه‎گذاران در بورس اوراق بهادار نبوده‎اند.

از آنجاکه انتخاب از بین مجموعه اوراق بهادار، بر اساس اهداف متضاد و پُرشماری انجام می‎گیرد (بیشینه‎کردن بازده و کمینه‎کردن ریسک)، برنامه‎ریزی آرمانی را می‎توان مناسب‎ترین روش در این زمینه دانست. مطالعات انجام‎شده، قدرت برنامه‎ریزی آرمانی در انتخاب بهترین مجموعه اوراق بهادار را به‎خوبی به تصویر کشیده‎اند (Mitra & et al., 2001). پیش‎زمینه‎ی مهم برای برنامه‎ریزی آرمانی چندمعیاره، اطلاعات تفصیلی در مورد اولیت‎های سرمایه‎گذار است. از نقاط ضعف برنامه‎ریزی آرمانی در حوزه‎ی انتخاب پرتفوی بهینه، عدم امکان بیان دقیق متغیرهای مدل، همانند سطوح اهداف (عایدی مورد انتظار سرمایه‎گذار، مقدار مبلغی که باید سرمایه‎گذاری شود و...)، نرخ‎های بازده و ریسک اوراق بهادار است. برای چیره‎شدن بر این مشکلات، رجحان‎های سرمایه‎گذار با روش تعاملی و رودررو تعریف شده و در تابع هدف گنجانده می‎شود که خود، فرایند مشکلی است.

تا کنون تلاش‎های فراوانی برای عملیاتی‎کردن یا حذف فرضیه‎های محدودکننده‎ی مدل‎های موجود انجام گرفته است. عده‎ای از پژوهشگران در راستای انتخاب پرتفوی بهینه در قالب یک مدل برنامه‎ریزی چندمعیاره برای تعیین مناسب این وزن‎ها، به طرح سؤال‎های مختلف از سرمایه‎گذاران اقدام می‎کنند یا از پرسش‎نامه‎های موجود در این زمینه استفاده می‎کنند. همه‎ی این تلاش‎ها به‎ایجاد ادبیاتی پُربار در زمینه‎ی انتخاب سبد سهام بهینه منجر شده است.

بخش اول پژوهش حاضر به بررسی مبانی نظری مدل‎های کاربردی انتخاب پرتفوی اختصاص دارد. بخش دوم به تشریح انواع سرمایه‎گذاران با توجه به توابع مطلوبیت افراد می‎پردازد و در بخش آخر با معرفی کوتاهی از مدل‎های تصمیم‎گیری چندمعیاره، به معرفی روش تخمین مجموعه‎ی غیر مرجح، به‎عنوان روش پیشنهادی در انتخاب پرتفوی بهینه، در قالب مطالعه‎ی موردی بورس اوراق بهادار تهران پرداخته می‎شود.

بیان مسئله

از دسته مشکلات موجود در انتخاب بهینه‎ی سرمایه‎گذاران، می‎توان به تعیین مرزهای مرتبط با شاخص سودآوری و شاخص ایمنی اشاره کرد. این وزن‎ها برای مشخص‎کردن میزان تمایل سرمایه‎گذار به هر یک از شاخص‎ها به‎کار می‎روند. یکی از روش‎های وزن‎دهی از طریق گفت‎وگوهای تعاملی بین تحلیل‎گر و سرمایه‎گذار انجام می‎پذیرد. اگرچه با این روش می‎توان به برداشت دقیق و مناسبی از ترجیحات سرمایه‎گذاران رسید؛ اما محدودیت‎های هزینه‎ای و زمانی، دامنه‎ی استفاده از این روش را محدود می‎کند. از سویی نادیده‎گرفتن وزن‎ها، سبب ایجاد انحراف‎هایی میان جواب‎های متناسب و ترجیحات سرمایه‎گذاران می‎شود. با توجه به موارد مطرح شده، ایده‎ی استفاده از روش تخمین مجموعه‎ی غیر مرجح (NISE)[1] تقویت می‎شود. روش تخمین مجموعه‎ی غیر مرجح (NISE) یکی از روش‎های ترسیم مرز کارای پاراتویی است که از شیب پاره‎خط‎های ایجاد شده در هر مرحله، به عنوان وزن‎های تابع هدف اصلی استفاده می‎کند.

پیشینه‎ی پژوهش

مدل‎های کاربردی در انتخاب پرتفوی

مدل تمام کوواریانس مارکوتیز برای نخستین‎بار بر اساس دو معیار متضاد؛ یعنی ریسک و بازده استوار شد (Ballestero & et al., 2003) مدتی پس از مارکوتیز و به‎طور همزمان و مستقل، مدل قیمت‎گذاری دارایی‎های سرمایه‎ای (CAPM) توسط شارپ و لینتر و ماسین توسعه یافت. پس از ارائه‎ی این مدل‎ها، تا کنون مدل‎های زیادی برای انتخاب پرتفوی بهینه ارائه شده است که از آن جمله می‎توان به مدل‎های تک‎شاخصی، مدل چند عاملی، مدل قیمت‎گذاری آربیتراژ، مدل لی و لرو، مدل لی و چسر، مدل رود، مدل کونو و یامازاکی، مدل تاپو و فینستین، مدل بالسترو و رومرو و مدل‎های استوار انتخاب سهام اشاره کرد. به‎طور کلی می‎توان پژوهش‎های انجام گرفته در زمینه‎ی تجزیه و تحلیل پرتفوی را به شش دسته‎ی کلی تقسیم کرد که وجه تشابه همه این مدل‎ها، گرایش به سمت مدل‎های چند معیاره است. این دسته‎بندی در جدول شماره‎ی 1 آمده است.

جدول1. دسته‎بندی پژوهش‎های انجام شده در زمینه‎ی انتخاب پرتفوی بهینه

منبع: Ehrgott & et al., 2004

انواع سرمایه‎گذاران

تا کنون مطالعات دامنه‎داری در زمینه‎ی عوامل مؤثر بر درجه‎ی ریسک‎گریزی انجام گرفته است که از آن جمله می‎توان به مطالعه‎ی جامع بوجی و همکاران اشاره کرد که در تخمین همزمان درجه‎ی ریسک‎گریزی و نرخ تنزیل زمانی برای هر سرمایه‎گذار تلاش کردند. نتیجه‎ی پژوهش مزبور نشان داد که این دو عامل در افراد مختلف متفاوت است و بین این دو عامل همبستگی ضعیف منفی وجود داد (Booij & et al., 2003).

دسته‎ی دیگری از مطالعات در زمینه‎ی تعیین درجه‎ی ریسک‎گریزی، پژوهش‎هایی است که با طرح سؤال‎هایی، در تشریح انتخاب سرمایه‎گذاران در شرایط عدم اطمینان تلاش می‎شود. از دسته این مطالعات می‎توان به کار بارسکی، ژستر، کیم بال و شاپیرو اشاره کرد. علاوه‎بر اینها، در زمینه‎ی لحاظ‎کردن ترجیحات سرمایه‎گذارن در مسئله‎ی انتخاب پرتفوی با در نظر گرفتن ترجیحات خاص افراد، کار مشترک بالسترو و پلاسانتاماریا به‎چشم می‎خورد که با مطرح‎کردن سؤال‎ها و با ایجاد تعامل بین تحلیل‎گر و سرمایه‎گذار، تلاش در لحاظ‎کردن ترجیحات فردی داشتند و سرمایه‎گذاران را به سه دسته‎ی سرمایه‎گذار متمایل به‎سمت شاخص سودآوری؛ سرمایه‎گذار متمایل به سمت شاخص ایمنی و سرمایه‎گذار استاندارد، تقسیم‎بندی کرده‎اند (Ballestero &
et al., 1991).

بالسترو و رومرو، ضمن برشمردن ویژگی‎های سرمایه‎گذار استاندارد (متعارف)[2]، به‎عنوان فردی که به‎دنبال حفظ موقعیت متعادل خود از نظر شاخص ایمنی و سودآوری است با استفاده از برنامه‎ریزی توافقی، مجموعه‎ی توافقی را به‎عنوان منطقه‎ی مرجح و هدف عام موردپسند تمام سرمایه‎گذاران معرفی کردند (Ballestero & et al., 1996).

مرز کارای مارکویتز

سرمایه‎گذاران تلاش می‎کنند از میان طیف وسیعی از اوراق بهادار، تنها آنهایی را انتخاب کنند که بازده مورد انتظار بالاتری دارند. در این بین از ریسک نیز غافل نمی‎شوند. فرایند سرمایه‎گذاری مبین این مسئله است که اگر سرمایه‎گذار مقداری پول برای سرمایه‎گذاری در بین n ورقه‎ی بهادار داشته باشد، چگونه کل مبلغ سرمایه‎گذاری بین n ورقه تخصیص یابد، به‎گونه‎ای که پرتفوی حاصل، حداکثر مطلوبیت مورد انتظار را نتیجه دهد. در راستای این هدف، مارکویتز فرایند دو مرحله‎ای تعیین مجموعه‎ی پرتفوی کارا و انتخاب از مجموعه کارا را پیشنهاد کرد. در سال 1959 مارکویتز برای مشخص‎کردن مرز کارا، الگوریتم خط بحرانی[3] را مطرح کرد (Mendez & et al., 1988).

شالوده و اساس پژوهش پیش رو، مربوط به تبیین مرحله‎ی اول است. برای تعیین مجموعه‎ی پرتفوی کارا، می‎بایست در نخستین مرحله، بازده مورد انتظار اوراق بهادار را محاسبه کرد. ایده‎ی تعیین مرزهای کارای پاراتویی بر اساس دو معیار میانگین و واریانس برای انتخاب پرتفوی، به‎عنوان یکی از روش‎های پژوهش در عملیات، برای مدل‎سازی رفتار سرمایه‎گذار در شرایط نامطمئن (ریسکی) مطرح است. مدل کواریانس مارکویتز، روشی کلاسیک برای بهینه‎سازی پرتفوی با در نظر گرفتن دو معیار متضاد است. یکی از این معیارها، ریسک پرتفوی است که با واریانس نشان داده می‎شود و همه سعی در کمینه کردن آن دارند و معیار دیگر بازده مورد انتظار پرتفوی که سعی در بیشینه‎کردن آن است. این دو هدف متضاد باعث فرموله شدن مسئله در قالب یک مدل ریاضی دو معیاره از نوع مسائل بهینه‎سازی پاراتویی می‎شود. این مدل برای برنامه‎ریزی در یک دوره است و هسته‎ی اصلی سامانه‎های برنامه‎ریزی و تجزیه و تحلیل پرتفوی، در تشکیل مرز کارای بازده ـ ریسک مطرح است (Mitra & et al., 2001). مدل مارکویتز دارای تابع ریاضی به قرار زیر است:

در این روابط:

 : تعداد دارایی‎های موجود در پرتفوی؛

: نسبتی از سرمایه که در دارایی ام سرمایه‎گذاری می‎شود؛

   : بازده مورد انتظار دارایی i؛

 : کوواریانس بین بازده دارایی‎های ؛

 : نشان‎دهنده‎ی عدم وجود فروش استقراضی.

شایان ذکر است در این پژوهش از نرخ بازده تاریخی اوراق بهادار استفاده شده است و براساس تعریف ریسک، می‎توان آن را با بررسی محدود بودن توزیع احتمال نتایج ممکن، مشخص کرد.

بازده پرتفوی، برابر با مجموع موزون بازده تمام دارایی‎های موجود در پرتفوی است و وزن به‎کار گرفته‎شده برای بازده هر دارایی، نسبتی از سرمایه‎گذاری انجام‎گرفته در دارایی مذکور است. در این پژوهش وزن‎های مربوطه با به‎کار بردن الگوریتم تخمین مجموعه غیر مرجح محاسبه می‎شود. ریسک کل پرتفوی بر اساس کووراریانس بین بازده دارایی‎های موجود در پرتفوی محاسبه می‎شود.

رویکرد برنامه‎ریزی چند معیاره

در دهه‎های اخیر توجه پژوهشگران به مدل‎های تصمیم‎گیری چند معیاره (MCDM) در انتخاب پرتفوی معطوف شده است. در این دسته از مدل‎ها، به‎جای استفاده از یک معیار سنجش بهینگی از چندین معیار استفاده می‎شود. در تصمیم‎گیری چند هدفه‎ی (MODM)، هدف اصلی بهینه‎سازی، تابع مطلوبیت کلی برای تصمیم‎گیرنده است. این تابع مطلوبیت در برخی از روش‎های ارزیابی به‎صورت عینی محاسبه و بهینه می‎شود، مانند حداکثرسازی توابع مطلوبیت به‎روش لاگرانژ که با درنظر گرفتن توابع مطلوبیت، به‎شکل‎های متفاوت، به‎صورت مستقیم اقدام به حداکثرسازی توابع مطلوبیت می‎شود و در برخی دیگر، به‎صورت ضمنی مورد بررسی قرار می‎گیرد. منظور از هدف در ادبیات برنامه‎ریزی چند معیاره عبارت است از، روابط مناسب ریاضی که تصمیم‎گیرنده برای تعیین و برگرفتن تصمیم بهینه، به طراحی آن نیاز دارد و راه‎حل بهینه راه‎حلی است که به‎طور همزمان موجب بهینه‎شدن هر یک از توابع (شاخص‎ها) می‎شود. یک راه‎حل، زمانی اثربخش یا غیر مسلط[4] است که هیچ راه‎حل عملی برای بهبود همزمان ارزش تمام اهداف وجود نداشته باشد. شایان ذکر است که راه‎حل‎های مؤثر، غیر مسلط و غیر مرجح همگی با هم مترادف هستند.

روش تخمین مجموعه‎ی غیر مرجح (NISE) یکی از روش‎های ترسیم مرز کارای پاراتویی است که از شیب پاره‎خط‎های ایجاد شده در هر مرحله، به‎عنوان وزن‎های تابع هدف اصلی استفاده می‎کند. همان‎گونه که پیشتر گفته شد، در این پژوهش مرز کارای میانگین ـ واریانس با استفاده از روش NISE ترسیم می‎شود.

طراحی مدل ریاضی

روش تخمین مجموعه‎ی غیر مرجح (NISE)

ایده‎ی تعیین مرزهای کارای پاراتویی بر اساس دو معیار میانگین و واریانس برای انتخاب پرتفوی، به‎عنوان یکی از روش‎های پژوهش در عملیاتِ مدل‎سازی رفتار سرمایه‎گذار در شرایط نامطمئن (ریسکی)، مطرح است. دو هدف متضاد ریسک و بازده، سبب فرموله‎شدن مسئله در قالب یک مدل ریاضی دو معیاره از نوع مسائل بهینه‎سازی پاراتویی می‎شود (Ballestero & et al., 2003)

در اکثر مسائل MCDM، داشتن اطلاعاتی راجع به اهمیت نسبی هر یک از معیارها ضروری است. در این مسائل، وزن‎ها اهمیت نسبی و ارجحیت هر شاخص (معیار) را نسبت به سایر معیارهای تصمیم‎گیری می‎سنجند. روش‎های متعددی برای وزن‎دهی وجود دارد. انواع روش‎های وزن‎دهی شامل، روش بردار ویژه، روش بردار ویژه تعدیل شده، روش حداقل موزون مربعات، روش حداقل مربعات مستقیم، روش حداقل مربعات لگاریتمی، روش آنتروپی شانون و روش حداقل مقادیر لگاریتمی هستند (Hwang & et al., 1995).

در اقتصاد سنتی برای نشان دادن ترجیحات تصمیم‎گیرنده، از منحنی‎های هم‎مطلوبیت استفاده می‎شد که در فضای n بُعدی قابل تعریف هستند و از سیستم وزن‎دهی بهره‎ای نمی‎بردند. (Ballestero & et al., 1991). روش‎های ارزیابی مسائل تصمیم‎گیری چند معیاره، بسته به زمان صرف شده برای کسب اطلاعات و نوع اطلاعات، به‎شکل‎های مختلف بخش‎بندی می‎شوند. بر اساس یکی از دسته‎بندی‎ها، این روش‎ها به چهار دسته‎ی زیر بخش می‎شوند:

دسته‎ی اول: در این دسته هیچ نیازی به دانستن اطلاعات ترجیحی تصمیم‎گیرنده در مورد محدودیت‎ها و اهداف وجود ندارد. تحلیل‎گر به‎تنهایی فرضیه‎هایی را در مورد ترجیحات تصمیم‎گیرنده در نظر می‎گیرد. مناسب‎ترین روش‎های ارزیابی در این وضعیت روش‎های مربوط به خانواده L-P متریک است.

دسته‎ی دوم: تصمیم‎گیرنده آگاهانه یا ناخودآگاه، مجموعه‎ای از اهداف را جهت فرموله‎کردن مدل به تحلیل‎گر منتقل می‎کند. برنامه‎ریزی آرمانی و لکسیگوگرافی در این دسته قرار می‎گیرند.

دسته‎ی سوم: این دسته به روش‎های تعاملی معروف هستند که مستلزم درگیری بیشتر تصمیم گیرنده در فرایند حل مسئله است. این فرایند از طریق تعاملات بین تصمیم‎گیرنده و تحلیل‎گر در هر مرحله انجام می‎پذیرد.

دسته‎ی چهارم : تنها وظیفه‎ی این دسته از روش‎ها، معرفی زیرمجموعه‎ای از کل جواب‎های غیر مسلط مرز کارا به‎عنوان نقاط کارا به تصمیم‎گیرنده است. روش (NISE) نیز در این دسته قرار می‎گیرد. (Ballestero & et al., 1991)

روش تخمین مجموعه‎ی غیر مرجح (NISE)، روشی برای ایجاد کردن نقاط غیر مرجح است. (Mendez & et al., 1988) در این الگوریتم، اطلاعات ترجیحی در مورد ارزش نسبی اهداف به‎کار نمی‎رود (Cohon & et al., 1979). این مسئله یکی از نکته‎های مهمی است که موجب استفاده از این روش شده است. سال 1988 مندز در مطالعه‎ای با استفاده از برنامه‎ریزی چند معیاره، برای ترسیم مرز کارا از روش (NISE) بهره برد و برای پیدا کردن نزدیک‎ترین نقطه به نقطه‎ی ایده‎آل از مدل برنامه‎ریزی توافقی (CP) استفاده کرد و نشان داد که استفاده از این روش، این امکان را می‎دهد که به‎سادگی بتوان به زیرمجموعه‎ای از مرز کارای ترسیم شده با روش NISE رسید (Mendez & et al., 1988).

در این پژوهش از روش NISE برای ترسیم مرز کارا استفاده شده است. مزیت استفاده از این روش همان‎طور که بیان شد، بی‎نیازی از اطلاعات ترجیحی افراد در مورد ریسک و بازده و قابلیت ترسیم مرز کارا با حداقل نقاط است. روش (NISE)، روشی برای نمایش دقیق یا تقریبی از مجموعه‎ی غیر مرجح در مسائل دو معیاره است. این روش یکی از روش‎های وزن‎دهی است و واژه‎ی NISE بر کارایی پاراتویی دلالت دارد. از مهم‎ترین نوآوری‎های این روش، قابلیت کنترل حداکثر خطای مجازی است که تحلیل‎گر در اختیار دارد (Cohon & et al, 1979). مطالعات پرشماری با تلفیق روش‎های NISE و برنامه‎ریزی توافقی (CP)[5] انجام شده است. در این زمینه می‎توان مطالعات پژوهشگرانی همچون مندز (Mendez & et al., 1988)، رومرو و کاستا (Costa & et al., 2004) را نام برد.

مقایسه‎ی روش NISE با سایر روش‎های تقریب مرز کارا

روش NISE روشی برای ایجاد مجموعه نقاط غیر مرجح است (Mendez & et al., 1988). در این الگوریتم، اطلاعات ترجیحی در مورد ارزش نسبی اهداف کاربردی ندارد. روش‎های بسیاری برای تقریب مرز کارا (مجموعه‎ی غیر مسلط) وجود دارد که می‎توان از روش‎های وزنی، روش محدودیت‎دار و الگوریتم سیمپلکس چندهدفه نام برد. کوهن با بیان این نکته که روش سیمپلکس چندهدفه یکی از کارآمدترین روش‎ها در تخمین مجموعه‎ی غیر مرجح است، نقاط ضعف ذاتی این الگوریتم را برشمرده و بیان می‎کند که روش مذکور، کار را از آخرین نقطه‎ی مجموعه‎ی غیر مرجح آغاز می‎کند و در اکثر مواقع، پیش از ایجاد نقاط کافی، الگوریتم به پایان می‎رسد (Cohon & et al., 1979). در روش محدودیت‎دار، توانایی تحلیل‎گر در تقریب ذهنی شکل مرز کارا، ضروری است و برآوردها در روش وزنی به روابط وزن‎ها برای تقریب مرز کارا وابستگی زیادی دارد و به دوباره‎کاری منجر می‎شود (Cohon & et al., 1979).

مراحل اجرای روش تخمین مجموعه‎ی غیر مرجح (NISE)

برای اجرای این روش، در ابتدا به بهینه‎سازی هریک از توابع هدف به‎طور جداگانه اقدام کرده که این فرایند منجر به ایجاد نقاط A و B در فضای هدف می‎شود (نمودار شماره‎ی 1). شیب پاره‎خط بین هر دو نقطه‎ی مجاور به‎عنوان وزن‎های تابع هدف اصلی در مسئله‎ی جدید شمرده می‎شود (Cohon & et al., 1979). از نکات مهمی که تصمیم‎گیرنده با آن درگیر است؛ مبادله بین اهداف روی مرز کارا است که نشان‎دهنده‎ی این مسئله است که تصمیم‎گیرنده حاضر است چند واحد از یک هدف را برای کسب یک واحد از هدف دیگر، از دست بدهد.

نمودار 1. وزن‎دهی در روش NISE

شیب مذکور، نسبت وزن‎ها است که با شیب توابع هدف موزون در ارتباط است. همان‎طور که از رابطه‎ی شماره‎ی 3 مشخص است، این نسبت همواره منفی است.

 و  دو نقطه مجاور هم هستند.                                 

مرز پایینی مجموعه‎ی غیر مرجح، پاره خطی است که  و  را به هم متصل می‎کند (در نمودار دو نقطه‎ی C) تمام نقاط موجود روی این پاره‎خط، ترکیبی محدب از  و  است. با در نظرگرفتن فرض اولیه‎ی تحدب محدوده‎ی موجه، هیچ نقطه‎ی غیر مرجحی پایین‎تر از پاره خط C قرار نمی‎گیرد.

الگوریتم NISE تا زمانی ادامه می‎یابد که حداکثر خطای مجاز در تمام نقاط، از حداکثر خطای ممکن در مرحله‎ی اول کمتر باشد. حداکثر خطای ممکن، حداکثر فاصله‎ی موجود بین نقطه‎ی ایده‎آل و تقریب مرز کارا در اولین مرحله است (Booij & et al., 2003).

ترسیم مرز کارای میانگین ـ واریانس بااستفاده از روش تخمین مجموعه‎ی غیر مرجح

با استفاده از داده‎های مربوط به ریسک و بازده سهام منتخب، ماتریس کوواریانس بازده تهیه شد. با استفاده از اطلاعات به‎دست آمده از این ماتریس، می‎توان ریسک کل پرتفوی را به‎سادگی محاسبه کرد. برای محاسبه‎ی این ماتریس، کواریانس بین تمام سهام منتخب به‎طور جداگانه محاسبه شد.

مطالعه‎ی موردی

مطالعه‎ی موردی این پژوهش، تعدادی از شرکت‎های سرمایه‎گذاری پذیرفته‎شده در بورس اوراق بهادار تهران هستند که اطلاعات این شرکت‎ها از ابتدای فروردین 1380 ثبت شده است. اطلاعات مربوط به بازده این شرکت‎ها در بازه‎ی زمانی 83-1380 مورد بررسی قرار گرفته است. درنهایت تعداد نوزده شرکت انتخاب شدند. در شروع کار مدل اساسی انتخاب پرتفوی در رابطه‎ی شماره‎ی 5 در نظر گرفته می‎شود:

در مرحله‎ی اول به‎ترتیب  و  را برابر صفر قرار می‎دهیم و هریک از توابع E وV را به‎طور جداگانه بهینه می‎کنیم. نتایج حاصل نشان‎دهنده‎ی مختصات نقطه‎ی ایده‎آل در فضای میانگین ـ واریانس است. نتایج عبارتند از:

در مرحله‎ی دوم، برای ترسیم مرز کارا از الگوریتم تخمین مجموعه‎ی غیر مرجح استفاده شد و با استفاده از برنامه‎ی تهیه شده در نرم‎افزار مطلب، مرز کارا ترسیم شد.

با حل مدل به‎روش NISE متغیرهای تصمیم که همان وزن‎های سرمایه‎گذاری‎شده در هر یک از سهام یا به‎بیان بهتر ‎ ها هستند، به دست می‎آید. در اینجا به‎سادگی با استفاده از روش NISE و با استفاده از هفده نقطه‎ی فرضی مرز کارای میانگین ـ واریانس ـ که به‎صورت منقطع و متشکل از پاره‎خط‎هایی است ـ ترسیم شد و برای تعیین وزن‎های مربوط به ریسک و بازده از روش مذکور استفاده شد. به‎ازای هر نقطه‎ی موجود روی مرز کارای NISE که نشان‎دهنده‎ی وزن‎های خاصی از سهام هستند، ریسک و بازده پرتفوی محاسبه شد.

نمودار 2. نمایش مرز کارای میانگین ـ واریانس به‎روش NISE

بر اساس اطلاعات حاصل، چنانچه در نقطه‎ی اول در نمودار 2 با مختصات 56/151 و 01/0، توجه شود این نقطه نشان‎دهنده‎ی پرتفویی با ریسکی برابر یک درصد و بازدهی برابر 151 درصد است و برای رسیدن به چنین ریسک و بازدهی، می‎بایست سرمایه‎گذاری به شرح جدول شماره‎ی 2 انجام شود.

جدول 2. یکی از هفده حالت ممکن از وزن‎های حاصل از اجرای روش NISE

نتیجه‎گیری و پیشنهادها

ازجمله مشکلات موجود در انتخاب بهینه‎ی سرمایه‎گذاران، می‎توان به تعیین وزن‎های مرتبط با شاخص سودآوری و شاخص ایمنی اشاره کرد. این وزن‎ها برای مشخص‎کردن میزان تمایل سرمایه‎گذار به هر یک از شاخص‎ها به‎کار می‎روند. برای غلبه بر مشکلات مربوط به تعیین وزن‎های مرتبط به هر یک از شاخص‎ها، روش تخمین مجموعه‎ی غیر مرجح به‎کار گرفته شد. در این روش، شیب پاره‎خط بین دو نقطه‎ی مجاور به‎عنوان وزن‎های تابع هدف اصلی در مسئله‎ی جدید محسوب می‎شود. با توجه به مراحل خاص روش ترسیم مزر کارای پاراتویی، دو معیار میانگین ـ واریانس با فرض حداکثر خطای مجاز (10%) و با استفاده از هفده نقطه بدون در نظر گرفتن ترجیحات سرمایه‎گذاران، در مورد این دو شاخص ترسیم شد.

هر کدام از این نقاط پرتفویی با ریسک و بازده منحصربه‎فرد است. با به‎کارگیری روش تخمین مجموعه‎ی غیر مرجح از بین بی‎نهایت نقطه‎ی (پرتفوی) موجود در مرز کارا با در نظر گرفتن شیب پاره‎خط‎ها، به‎عنوان وزن‎های مورد نظر سرمایه‎گذار برای شاخص ریسک و بازدهی، به تعداد محدودی پرتفوی رسیدیم. در این پژوهش، پس از هفده مرحله مدل مربوطه به‎طور کامل اجرا شد. به‎طور مسلم پژوهشگر قادر خواهد بود با افزایش در سطح خطای قابل قبول، مرزکارایی با تعداد نقاط کمتر به‎دست آورد.

با توجه به ویژگی‎ها و توانمندی‎های این روش، پیشنهاد می‎شود در مطالعات بعدی، ترکیبی از این روش و روش برنامه‎ریزی توافقی برای معرفی مجموعه‎ی محدودتری از پرتفو‎های بهینه‎ی مرز کارا به‎کار گرفته شود. به‎علاوه، پیشنهاد می‎شود مرز کارایی برای سرمایه‎گذار با استفاده از مدل مارکویتز حل شود و نتیجه‎ی حاصل با مرز کارای ترسیم‎شده‎ی به‎روش NISE مقایسه شود.

منابع

1. Ballestero, E. and Pla-Santamaria, D. (2003). Portfolio Selection on the Madrid Exchange: A Compromise Programming Model. International Transactions in Operational Research, 10 (1): 33-51.
2. Ballestero, E. and Romero, C. (1991). A Theorem Connecting Utiliy Function Optimization and Compromise Programming. Operations Research letter, 10 (7): 421-427.
3. Ballestero, E. and Romero, C. (1996). Compromise programming Applied to the portfolio Problem. Journal of the Operational Research Society. 41: 1378-1386.
4. Booij, A.S. and Van Praag B.M.S. (2003). Risk Aversion and the Subjective Time Discount Rate: A Joint Approach. CESIFO working Paper. 932: 1-24.
5. Cohon, J.L., Church, L. R. (1979). Generating Multiobjective Trade-Offs: An Algorithm for Bicriterion Problems. Water Resources Research, 15 (5): 1001-1010.
6. Costa, F. and Tahir, R. (2004). Unravelling the Rational of Overgrazing and Stocking Rates in the Beef Production Systems of Central Brazil Using a Bi- criteria Compromise.
7. Ehrgott, M. and Klamorth, K. and Schwehm, Ch. (2004). An MCDM Approach to portfolio Optimization. European Journal of Operational Research. 155 (3): 752-770.
8. Hwang-Lai-Ching. (1995). Fuzzy Multiple Decision Making, Springer press.
9. Mendez, M., Alonso, R. and Teresa, M. (1988). Cattle production systems by multiobjective programming for the tenth region of Chile, Agricultural systems, 28 (2): 141-157.
10. Mitra, Gautam and kyriakis. Triphas and Lucas, cormac (2001). A Review of portfolio planning models and systems. Center for the Analysis Risk and optimization Modeling Applications.Heinemann: Oxford.